2021届高三全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学文科

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2b23,a21.解:(1)由题意得:c1解得a=2,b=√3,caa2=b2 c2,2所以椭圆C的标准方程为 =1(4分)(2)依题意,若直线l的斜率不为零,可设直线l:x=my 1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)假设存在点P,设P(x0,0),由题设,x≠1,且x≠x1,xn≠x2设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1=y1,k2=y2x1-x0x2-x因为A(x1,y1),B(x2,y2)在x=my 1上,故x1=my1 1,x2=my2 1.而x轴上任意点到直线PA,PB距离均相等,等价于PF平分∠APB,继而等价于k1 k2=0.则k1 k2=y1 2 T2Tox1y2 x2y1-x0(y1 y2)=(x1-x)(x2-x=my1y2 (1-x)(y1 y2=0.(x1-x3)(x2-x0)(8分)x22联立{y=1,3消去x,得(3m2 4)y2 6my-9 x=my 1,=0,6m,y1y23m2 4有y1 y2=3m2 4y2=-9 -18m-6m 6mxo则k1 k2=0=(3m2 4)(x1-x)(x2-x) -24m (3m2 4)(x1-x0)(x2-x0)即4m mx0=0,故x0=4或m=0(舍).当直线l的斜率为零时,P(4,0)也符合题意.故存在点P(4,0),使得x轴上任意点到直线PA,PB距离均相等.(12分)