2023高考名校导航金卷(一)1理科综合答案

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22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB=AD=CD=1,BC=2.平面PBD⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形，E是棱BC上的动点.(1)证明：CD⊥平面PBD;(2)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值(1)证明：如图，取BC中点F,连接DF,AF,设AF与BD交于点M,则由AD=1,BC=2知AD∥BF且AD=BF,所以四边形ABFD是平行四边形.又因为AB=AD=1,所以四边形ABFD是菱形，故AF⊥BD.在△BDC中，F,M分别为BC,BD的中点，故FM∥CD,即CD⊥BD,又因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以CD⊥平面PBD.面B(2)解：以D为原点，分别以DB,DC所在直线为x轴、y轴，以过点D垂直于底面的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,由题高如A停，言0小-B5.00.C010过点P作直线PP,与BD垂直，且PP,∩BD=P1,因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以PP,⊥平面ABCD.又因为PB=PC,所以P,B=P,C,所以点P,在线段BC的垂直平分线上，由对称性可知A,P,,C三，点共线，BP BC由△P,ADn△P,CB,得P,DAD2,所以BP1=2√33·2√6又由PB=2,得PP1=3以点P的坐标为。902）=停o2g5)i-(停日o设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,之)，DP·n=0,则DA·n=0,3,2√632=0,即312x-2y=0,令x=E,则m=(E6,-》设BE=ABC,则入∈[0,1]，则店-成-成-D成 A武-D庐-（号-小A,-2）设直线PE与平面PAD所成的角为0，则sin 0=Icos(PEn)E nl√62V66PEn丽- 33当入=。时取等号，√66所以直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值为33*在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA,C,C和侧面AA,B1B都是边长为2的菱形，D是AA1的中点，BC=√3，∠CAA1=∠BAA1=60(1)证明：AA1⊥平面BCD;(2)求二面角B-ACA,的余弦值.(1)证明：因为侧面AA,C,C为菱形，且∠CAA,=60°，B所以△AA1C为等边三角形，又因为D是AA,的中点，所以CD⊥AA1,同理可得BD⊥AA1又因为BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,所以AA1⊥平面BCD.(2)解：过C作CH⊥BD交BD于H,在Rt△ACD中，AC=2,AD=1,所以CD=√5，同理可得BD=√3，又因为BC=√3，所以△BCD为等边三角形，所以H为BD中点，CH=)由(1)可知，AA1⊥平面BCD,AA:C平面AA1B,B,所以平面AA,B,B⊥平面BCD,又因为平面AA1B,B∩平面BCD=BD,所以CH⊥平面AA1B1B,即HC,DA1,DB两两垂直.以D为原点，DA,DB,HC的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,B则A1.00A(-1.00.B050.co92》a-2,0.0C-,2）i=1w50设m=(x1y1,21)是平面AA1C的一个法向量，m·AA=0,2x1=0,则即{mA花=0，甲11大3y十32y1十21=0，令y1=3,则x1=0,z1=一1，所以m=(0,W3,-1).设n=(x2,y2,之2)是平面ABC的一个法向量，·A店=0，.[x2 3y2=0,则即n·AC=0,2y2 222=0,,m·n3×3-1_√13令y=5,则x:=-3,2:=1,所以n=(-35,1),cos(mn)=mm=2X1313所以二面角BACA:的余弦值为.

【答案】B【解析】因为=-2，所以配-号成，又国为E,F分别为SA,BC的中点所以5-5定 成=5十3号-si 号〔s-s)=5i 号sF-号死=si 号×名(5i s)-号×5i-君5i 3