海淀八模 2023届高三模拟测试卷(三)3文综(J)答案

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(1)证明：因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC,而BCC平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而ADC平面PAC,则BC⊥AD,因为AC⊥BC,∠CBA=30°，所以AB=2AC.又AB=2PA,所以PA=AC,而D为线段PC的中点，所以AD⊥PC.又PC∩BC=C,所以AD⊥平面PBC,又ADC平面ABD,故平面ABD⊥平面PBC.(2)解：以C为原，点，分别以CA,CB的方向为x轴、y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxy2,。食总人不妨设AB=2,则A10.0,B0n5,0,D(20,号）G(0,)i=(05,0,心=(0，)设平面GBC的一个法向量为m=(x,y,z),m·CB=5y=0,则4之=0，m·CB=√3y=0,则m…心=是x =0，令x=1,得m=(1,0,一3).由(1)知平面PBC的一个法向量为DA=(分0，一司)，设二面角P-BCG的平面角为0，易知0为锐角，则cos0=Im·DA_2V5ImDA5即二面角P-BCG的余弦值为w55

【答案】27【解析】如图①，过C,B作AD的垂线，垂足分别为E,F,【菜答【范馆①故BF⊥EF,EC⊥EF,所以B京.FE=0,F它.EC=0,以AD为棱折叠后，则有BC=B京 F它 EC,故BC2=(BF FE EC)*=BF: FE* EC: 2 BF.EC 2 BF.FE 2 FE EC=BF FE EC 2BF·EC.如图②，因为以AD为棱折成大小为60°的二面角CAD-B,所以B下与EC的夹角为120°，令∠BAD=a,则∠CAE=90°-a,在Rt△ABF中，BF=AB·sina=6sina,AF=ABcos a=6cosa,在Rt△ACE中，EC=AC·sin(90°-a)=8cosa,AE=AC·cos(90°-a)=8sina,故FE=AE-AF=8sina-6cosa,所以BC=(6sina)2 (8sina-6 casa) (8cosa)P 2X6sina×8 cos ax(-2）=36(sin2a cos2a) 64(sin2a cos2a)-144 sin acos a=100-72sin2a,故当a=45°时，|BC12有最小值28，故线段BC的最小值为2√7.CDFAB②