衡水金卷先享题 2023届调研卷 语文(新教材YW)(三)3试题答案

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17.(10分)y2已知椭圆C: 京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率为2，且过点(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F,的直线1与椭圆C相交于A,B两点(A,B非椭圆顶点)，求F2A·F2B的最大值.解：(1)由椭圆C过，点(0,1)，得b=1.由e=C=a2可得，a2=2c2=2(a2-b),解得a=√2，则椭国C的方程为2十y2=1.(2)由(1)得F:(一1,0)，F2(1,0),已知直线1不过椭圆长轴顶点，则直线1的斜率不为0，设直线l的方程为x=my-1.设A(x1,y1),B(x2y2）,联立直线方程和椭圆方程{2 y2=1x=my-1,整理可得(m2 2)y2-2my-1=0,△>0，2m-1则y1十y2m2 2'y1y=m2 21则有F2A·F2B=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1) y1y2=(m2 1)y1y2-2m(y1 y2) 4=(m2 1)·-12m9m2 2-2m·m2十2十4=二m7=-1=-1 m2 2m2 2'9由m2≥0，可得-1<-1 7m2 22,所以FA,F,官的最大值为7

16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右顶点到点A的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率=【答案】79【解析】以A为原点建立平面直角坐标系，则P(0,4),R(-3,0),直线PR的方程为y=3x十4，QR 4-1设M(n,1),Q(n,0),由M到直线PR的距离为1，得=1,解得n=一或n=-1(舍去)，则2 ()M(-子，)Q(-名0），又设直线PN的方程为y=缸十4，由M到直线PN的距离为1，得-20 4-1=1,整理得52一21k十8=0，则k1:=行，又km=3248√1 k4,所以kPN=6,则直线PN的方程为a十c=4,y=是 4，N(-安o),故NQ=-号 艺=4=a c,R0=-3 7-71=a-c,由1解得-c=2:97a=故横圆的离心率e=C=479944