2021全国100所名校最新高考模拟示范卷（二）

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22.【命题意图】本题考查点的轨迹方程、直线与圆相切、定值问題,考查分类讨论思想、转化与化归思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养【解】(1)设点H(x,y)由已知条件得.=1(x≠ 23),x 23x-23因此点H的轨迹C的方程为 =1(x≠±23).(4分)(2)1OP12 10Q12为定值由(1)知曲线C的方程为, =1(x≠±23)当直线OP,OQ的斜率均存在且不为零时,设切线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,交点P(x1,y1),Q(x2,y2)1 2k212(1 h1)联立得方程组2k21 2k21261 2k212(1 k2)同理可得x2 y2=(6分)1 2k2(1 k2)12(1 k2)∴OP| 10Q1=x1 y1 x2 y21 2k22k2又:直线OP与圆M相nk0 k2即(x-4)k1-2同理可得(x-4)k2-2x0yk2 y0-4=0.k1,k2是关于k的方程(x2-4)k2-2xn%k y2-4=0的两个实数根(9分)42∵x0×4,∴△>0,h2s-4x-4x-4412(1 k2)12(1 k2)12(1 h)OP 14 0Q I1 2k1 2k1 2k22k)]18 36k218(11分1 2k当直线OP,OQ中有一条的斜率不存在时,此时圆M与y轴相切易得圆心M的坐标为(2,2)或(-2,2)或(-2,-2)或(2,-2),圆M也与x轴相切,即另一条直线的斜率为0,故|OP12 0Q12=a2 b2=18综上所述,OP|2 10Q2=18(12分)