衡水金卷先行卷全国卷二

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四、17.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的性质,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养【解】设等差数列{an}的公差为d,d=3a1 4d=S3=3a2=3a1 3d, d=3整理,得解得aId=2.所以an=a1 (n-1)d=1 (n-1)×2=2n-1.(4分)方案一:选条件①假设数列{b}中存在某项b,使得b,b3,b,成等比数列,则b2=bb,即(λa3)2=Aa1·Aan(6分)因为A≠0,所以a2=a1a又因为a3=2×3-1=5,a1=2×1-1=1,a1=21-1,所以52=1·(2t-1),解得t=13.(9分)所以存在正整数t=13使得b1,b3,b成等比数列(10分)方案二:选条件②假设数列b}中存在某项b使得b1,b3,b成等比数列,则b2=bb,即A)入(6分)因为入≠0,所以a2=a1a又因为a3=2×3-1=5,a1=2×1-1=1,a,=2t-1所以52=1·(2t-1),解得t=13(9分)所以存在正整数t=13使得b1,b3,b,成等比数列(10分)方案三:选条件③假设数列{b。}中存在某项b使得b,b3,b,成等比数列,则b2=bb,即(A a2)2=(A a1)·(A a)(6分)若λ=2,则(2 a3)2=(2 a1)·(2 a1),将a3=2×3-1=5,a1=2x1-1=1,a4=2t-1代入并整理,得3:=23,所以t=23(9分)又t∈N,所以不存在满足条件的正整数t(10分)