2021衡水金卷先享题调研卷全国一卷B理综

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20.【命题意图】本题考查导数的几何意义、构造函数利用导数证明不等式,考查转化与化归思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养(1)【解]由题意可知,(x)=ahmx ax-2=alnx a-2因为曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=1所以(1)=alhn1 a-2=0,且f(1)=b=1所以a=2,b=1(2)【证明】由(1)得f(x)=(2x-2)lnx 要证明(x)≤x2-x 1即证明(2x-2)hx 1≤x2-x 1亦即证明x2-x --1-2(x-1)lnx≥0x2-x -1-2(x-1)lnx=x(x-1)-2-2(x-1)lnx=(x-1)设g(x)=x---2ln则g(x)=1 (8分)所以g(x)在(0, ∞)上单调递增又g(1)=0所以当0 1时,g(x)>0.(10分)所以(x-1)(x---2hnx≥0综上可知(x)≤x2-x 1(12分)技巧点拨解第(2)问的关键在于因式分解,即通过对不等式的观察[lnx前的2(x-1)即为提示〕,提出公因式(x-1),然后将剩余部分设为一个新的函数,研究其单调性,这样可大大简化证明过程