吉林省长春市第五中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题答案

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(21)(本小题满分12分)(I)证明：由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BC,又在正方形ABCD中，BC⊥AB,且PA∩AB=A,则BC⊥平面PAB,有BC⊥AE,--2分由PA=AB,E为线段PB的中点，可得AE⊥PB,又PB∩BC=B,则AE⊥平面PBC,从而平面AEF⊥平面PBC;-------5分(IⅡ)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，的设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由(I)可知日=（号0，号为平面P8C的法向量，由BE=√2BF,可知EF∥PC,设BF=λBC,BE=λBF,则BF=入(0,1,0)，BE=λ(-1,0,1)，可得AF=BE AB BF=(1,入，0)，AE=AB BE=(1-入，0,1)，-7分设平面AEF的一个法向量为π=(x,y,z),则=0，即x 入y0,令y=1,则x=-入，z=1-入，mAE=0((1-入)x 入z=01∴.平面AEF的一个法向量为π=(-入，1,1-入)，---分cos

22.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又因为AB⊥AD,则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),所以D元=(2，-1,0)，AC=(2,4,0),A户=(0,0,4)，因为D2.AC=2×2-1×4 0=0,D市.AP=0,因为DE.AC=2×2-1×4 0=0,DE.AP=0,所以DE⊥AC,DE⊥AP,(3分)又AP∩AC=A,APC平面PAC,ACC平面PAC,所以DE⊥平面PAC.(4分)(2)由(1)可知DE⊥平面PAC,DE=(2,-1,0)可作为平面PAC的法向量，(6分)设平面PCD的法向量n=(x,y,z),因为PD=(0,2,-4),PC=(2,4,-4).n·Pi=0(2y-4z=0所以,即nP元=02x 4y-4z=0不妨设之=1，得n=(一2,2,1).(7分)cos(Di,m〉=DE.nDE·n2×(-2) (-1)×2 025√/2 (-1)F×√/-2)2 22 1所以二面角A-PC-D的正弦值为汽。(8分)》(3)设器=0