2023届全国100所名校单元测试示范卷高三数学（五）理科答案

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19.(1)证明：连接BE,因为梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,CD=2AB=2AD=2,所以四边形ABED是边长为1的正方形，且BE=EC,取AE的中点M,连接PM,BM,CM,因为AP=PE=1,所以PM⊥AE,且AE-2,PM-AM-21因为∠MBE=∠EBC=45°，所以BM⊥BC,所以MC-VBM" BE EC=√受， 1 1=5因为Pc=s,PM=竖MC=√5,所以PM2 MC=PC,所以PM⊥MC.因为AE∩MC=M,所以PM⊥平面ABCE.因为PMC平面PAE,所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)由(1)知PM⊥平面ABCE,BM⊥AE.所以以M为原点，以MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，MP所在直线为x轴，建1号，所以立如图所示的空间直角坐标系.因为PM=MB=ME=号BC=号，p(0.0,号)，B(0,20),E(-220,0),C(-V2,20),20,2220),②V2n·Ep=0,222=0设平面PEC的一个法向量为n一(x,y,之)，则得n.EC=0,2大②y=0,即x =0:令x=1,则y=1,x=-1,所以n=(11,-1)x一y=0,因为PB=(0,2，一乞)，设PB与平面PEC所成的角为0，√2√2则sin0-_n·P|22√6n·IPB1×331即PB与平面PEC所成角的正弦值为3·

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2.答案：B令之=a十bi(a,b∈R),则山】=，1=4-bi∈R得b=0,所以之∈R,故p1正确；之a bia2十b2当之=i时，因为之2=2=一1∈R,而之=i任R知，故p2不正确；当之1=之2=i时，满足之1·之2=一1∈R,但之1≠之2，故卫不正确；对于p1,因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p1正确.故选B.