河南省顶级名校2022届高三5月全真模拟考试文科综合答案

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21.（1)证明：设P(x0,yo),当直线PA,PB均存在斜率时，不妨设过点P的切线方程为y一y%=k(x一xo),代入椭圆方程有：x2十3[kx十(y%一k.xo)]2一3=0，化简得(1 3k2)x2 6k(y0一kx0)x 3(y%一kx0)2一3=0，由△=0，即有：36k2(y0-kx0)2-4(1 3k2)[3(y0一kxo)2一3]=0，化简得：(3一x6)k2 2x0y%k十1一y6=0,从而有k2=)二S,又因为后 6=4，则k1=-1,则有PMLPN,即MN为圆O的直径，从而有M,O,3-x6N三点共线4分当PA或PB不存在斜率时，由对称性，不妨设P(W3,1),则M(W3,一1)，N(一√3,1)，M,O,N三点共线成立综合可知，M,O,N三点共线，6分(2)解：设点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y一y=k(x一x),y=k(x-x1）十yh,由消去y,得(1 3k2)x2 6k(y1-k.x1)x 3(yM-k.m)2-3=0,x2 3y2-3=0由△=0，即有：36k2(y1-k.x1)2-4(1 3k2)[3(y1-kx1)2-3]=0.化简得：(3-x号)k2十2x1yk十1一y=0.解得k1=一由△=0，即有：36k2(y-kx1)2-4(1 3k2)[3(y一kx1)2-3]=0.化简得：(3一x1)k2十2x1y1k十1一y听=0.解得k1=一，3y1“直线PA的方程为y=3(一)十n:化简可得x十3y=3 ,即号 ”y=1.经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为x=5或x=一5，也满足号 ”y=1,同理，可得直线PB的方程为号 y=1,又因为P()在直线PA,PB上，则有号 %=1，号十为%=1，可得直线AB的方程为号十0y=1.…8分由x %y=1,3消去y得(26 4)x2-6.x0x 9-96=0,x2 3y2=3△1=36x6-4(26十4)(9-9y6)=36(2 y6)>0,6.x09-9y60十=26十4226 4'AB=1 36.x6-4(2y% 4)(9-9y6)_2(2y6 1)9-2=√1 (2y6 4)2y6十2又点O到直线AB的距离d=-33√x十9喝√4 8y%∴.S△OB=1.2(2y 1).33.26 1236十2√4 8%y6十23t-3令√26 1=t,则t[1,3],S△0B=2十33当且仅当t=√3，即3哈=1时取“=”.从而△AOB的面积的最大值为2，…12分

20.本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数解决最值问题，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，(1)证明：由题可知f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=x-lnx一a,(x)=1一1当0x<1时，f(x)<0;当x>1时，f'(x)>0,则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1， ∞)上单调递增.又f(1)=1-a<0,(ea)=ea>0,则f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.又因为f(2a)=a-ln2a=a-lna-ln2>a-lna-1>0,则f(x)在(1,2a)上有且仅有一个零点x2.综上可知，x∈(0，x1)时，f(x)>0;x∈(x1,x2)时，f(x)<0;x∈(x2,十∞)时，f(x)>0,函数f(x)存在两个极值点1，x2.3分设8)=h一子≥1D,g)=士D长≥0，则)在1，十o)止为单调道增函数：由g)=0知g≥0，从而有（号）>0.化简可得n名品<。2又因为=ln十a,2=ln2十a,两式相减可得n2二=1，即得2，>1，从而有十x2>2成In x2-ln x2立6分(2)由(1)可知，f(1)为极大值，f(x2)为极小值.由1∈(0,1)，x2∈(1,2a)得f(x2)