2021-2022 教育时报 数学导刊 八年级人教 第38期答案

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18.【解题思路】(1)根据翻折前后图形的特点，将问题转化为证明两个平面平行，利用面面平行的判定定理即可证得结论，也可构造平行四边形，结合线面平行的判定定理进行证明；(2)可以根据二面角的定义，作出二面角A-PB-C的平面角，再解三角形即可求出二面角A-PB-C的余弦值，也可以建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角A-PB-C的余弦值.解：(1)解法一取AD的中点O,连接OC,OF,F为PD的中点，OF∥PA,(三角形中位线定理的应用):PAC平面PAB,OFd平面PAB,∴.OF∥平面PAB.(线面平行的判定定理)(2分)由PA⊥PD,PA=PD=4,可得AD=4√2，.BC=22,AD∥BC,∴.OA∥BC且OA=BC,∴.四边形ABC0为平行四边形，∴.OC∥AB,又ABC平面PAB,OC￠平面PAB,∴.OC∥平面PAB.(4分)又OC∩OF=0,且OC,0FC平面0CF,,.平面OCF∥平面PAB,(运用面面平行的判定定理时条件要写全)又CFC平面OCF,故CF∥平面PAB.(6分)解法二取AP的中点M,连接MF,BM,~F为PD的中点，MF∥AD且MF=2AD,(2分)PA L PD,PA PD=4,..AD=42.又AD∥BC,BC=22,.MF∥BC且MF=BC,∴.四边形BCFM为平行四边形，∴.CF∥BM.(4分).·BMC平面PAB,CFt平面PAB,∴.CF∥平面PAB(6分)(2)解法■如图，连接P0,由PA=PD=4可得P0=22,P01AD,·平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,.PO⊥平面ABCD.连接OB,易知OB∥CD,OB=CD=22,.PB=AB=4,∴.△PAB为等边三角形，取PB的中点G,连接AG,则AG⊥PB,AG=2√5.(7分)取PC的中点H,连接CH,则CH=2BC=2,GH∥BC,易得BC⊥平面POB,故BC⊥PB,则GH⊥PB,故∠AGH为二面角A-PB-C的平面角.（关键：通过作辅助线找到二面角的平面角)(8分)取OC的中点K,连接HK,AK,则HK∥OP,HK=p=万，且K1i,在△AOK中，由余弦定理可得AK=OA2 OK2-20A·0K·c0s135°=20，连接AH,则A=AK2 HK2=22.(10分)在△AGH中，由余弦定理可得cos∠AGH=AG GH2 -AH2AG·GH3二面角A-PB-C的余弦值为-6,(12分)解法二连接PO,由PA=PD可得PO⊥AD,·平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,.PO⊥平面ABCD,连接OB,易知OB⊥AD,(建立空间直角坐标系的前提是找到两两垂直的三条相交直线)∴可以O为坐标原点，OB,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.(7分)则A(0,-22,0),B(22,0,0),C(22,22,0),P(0,0,22),故A=(0,22,22),B=(-22,0,22),CP=(-22,-22,22).(8分)设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,1),1·A=0,22y 2221=0,由可得,·B=0，-22x1 2/2a1=0,令x1=1,可得n1=(1,-1,1).(10分)设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,2),rm2·C7=0,【-22x2-22y2 22x2=0,由{可得m2·B驴=0，-22x, 2242=0,令x2=1,可得n2=(1,0,1).(11分)n1·22-6cos(n》=1n,lm,i3x23’又二面角A-PB-C为钝二面角，故二面角A-PB-C的余弦值为-白（利用空间向量法求解二角的余弦值时，要注意判断二面角的大小)(12分)代一招制胜解决与翻折有关的问题的关键是确定翻折前后各量之间的关系，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不变；②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不变.

22.【解题思路】(1)将直线1的参数方程中的参数1消去即可得直线1的普通方程，利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得曲线C的直角坐标方程：(2)把直线1的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解解：(1)将直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程为2x y-1=0.(2分)由p=2c0s0可得p=2pc0s0,将p2=x2 y,pcos0=x代人得曲线C的直角坐标方程为x2 y2=2x,即(x-1)2 y2=1.(5分)x=-t(2)把代入(x-1)2 y2=1,可得)=1*355t 1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2则t1t2=1.(7分)由点M,N的极坐标分别为(2,4)，(1，)可得点M,N的直角坐标分别为(2，√2)，(0,1)，则点N在直线l上，点M到直线I的距离d=32-15故s,·,=(2ANM·d)(分BNM·d)=4·1MNM1BN1·d=·d-9202(泰20的几何意义)(10分)