衡水名师卷 2021年调研卷 全国l卷B 文科数学(三)3答案

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21.【命题意图】本题考查导数的几何意义、利用导数解决不等式恒成立问题,考查转化与化归思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养【解】(1)由f(x)=xnx 3bx,得∫'(x)=Inx 1 3b,f(e)=lne 1 3b=2 3b(3分)由导数的几何意义,得2 3b=5,解得b=1(4分)(2)方法一对任意x>1都有f(x)>g(x)(a∈Z)成立,Ep xln x 3x>(4a 3 )x-In x-3(5分)即4ax 1).∴h'(x)>0,h(x)在(1, ∞)上单调递增,且h(1)=-1<0h(e2)=e2-2-2lne=e2-4>0h(x)=0在(1, ∞)上有且仅有一个实数根x0,即H(x)=0在(1, ∞)上有且仅有一个实数根x,H(x)在(1,x)上单调递减,在(x, ∞)上单调递增,H(x)==H(x)=mx 3 m,(*)又H(3)=1-ln3<0,H(4)=2-ln42(1-ln21616H(3)·H(4)<0,,x∈(3,4),且x-2-lnx=0,In xo =xo-2.H(x)-m=B(x)=x2-2 3,-2 1-1,x∈(3,4)(10分)而=x0 -1在(3,4)上为增函数,t∈H(x)。∈面(121)(0.1)4B(x)-(0,1(11分)a≤0.故整数a的最大值为0(12分)方法二对任意x>1都有f(x)>g(x)(a∈Z)成立A xIn x 3x>(4a 3)x-In x-3亦即4ax 1)(5分)令x=e,则原不等式可化为4 aeseIn e lne 3=4 e(6分)4=4 (7分)当a=0时,即证0 1)则G(x)=lnx 1 1>0(9分)G(x)在(1, ∞)上单调递增,G(x)>G(1)=3>0不等式0