2021衡水金卷先享题语文（一）

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16.2【命题意图】本题考查函数的性质、导数的几何意义、两点间的距离公式,考查转化与化归思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养【解析】设点P(a,na)是函数g(x)=lnx图像上的点,点(b,b2 )是函数h(x)=x2 图像上的点,则f(a,b)表示点P与点Q的距离的平方,由于g(x)=lnx在(0, ∞)上是上凸型递增函数,h(x)=x2 在(0, ∞)上是下凸型递增函数,因此当函数g(x)=lnx的图像在点P处的切线l1与函数h(x)=x2 的图像在点Q处的切线l2平行且PQ⊥l时,PQ12最小∵g(x)=,切线l1的方程为y-lna=a(x-a),即y=x-1 na.∵h(x)=2x,切线l2的方程为y=2b(x-b) b2 4,即y=2bx-b2 11=2b,则点Q的14a坐标为(2a^4a4424na11111 -Ina11 2aa 2aa-a.整理,得a2- na-=0,该方程只有唯一解a=1,此2时b=2,因此(a,b=(2)=(1-2) 1121 In 1--442