2021衡水金卷先享题信息卷 新高考 4

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21.命题意图试题考查利用导数判断函数单调性的方法、函数极值点的概念、函数零点的概念以及导数公式和导数运算法则,考查考生灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,综合考查考生的推理论证能力、运算求解能力以及分类讨论思想运用的能力.试题选取指数函数与余弦函数的差构成所要研究的函数,虽然指数函数与余弦函数的性质是考生熟悉的,但对这两个函数之差的性质的研究会涉及函数及其导数应用等基础知识.第一问要求证明f(x)的导函数在区间(-π,0)上存在唯一极小值点,需要考生对f(x)进行研究,以此考查考生对函数求导,利用导数讨论函数单调性等基本方法的掌握程度,第一问面向大部分考生,考生只要能够正确应用导数公式和求导法则进行导数运算,利用导数的正负号讨论函数的单调性就可以解决问题.第二问则要求考生证明函数有且仅有2个零点,设问方式是考生常见的,但问题的解决需要综合利用余弦函数的有界性和指数函数的值域特征,还要利用第问的结论,从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法,为考生的发挥提供广阔的空间,对考生运用所学知识寻找合理的解题途径以及推理论证能力提出了较高要求,解析(1)证明:由∫(x)=e sinx,令g(x)=f(x)=e sinx,2分易知g(x)在[一π,0]上单调递增且g'(-r)=e" cos(-r)=e-1<0,g"(0)=e cos0=2>0,故g'(x)在(一x,0)上存在唯一零点x0,………4分且当一丌 0,函数g(x)单调递增,因此,y=g(x)在区间(一π,0)上存在唯一极小值点x0,证毕………6分(2)当x>0时,c>1≥cosx,此时,f(x)=e-cosx>0所以,函数y=f(x)在区间(0, ∞)上没有零点.…………7分又D=0,下面只需证明函数y=f(x)在区间(-2,0)上有且只有一个零点当x≤-2时,e>0,c0sx≤0,所以y=e-cosr>0,所以函数y=f(x)在此区间上没有零点.…………………………………………………………8分由f(x)= sm,∈(一号,0,易知f(a)在区间(一号0)上单调递增因为f(号)e s(号)=1-10,(0 0=1>0由零点存在性定理知,3∈(-2,0),使得f()=0………9分当- 0,所以函数y=f(x)在x=t处取得极小值,f(t) 0,所以f(2)f()<0.由零点存在性定理可知,f(x)在(一,t)上存在唯一零点,而在(t,0)上无零点,所以函数y=f(x)在区间(-2,)有且只有一个零点…11分综上所述,函数y=f(2)在(-2, ∞)上有且仅有两个零点12分,更多内容，请微信搜索关注。