强基路985天机密卷 2022年普通高等学校统一招生模拟考试(全国甲卷一)理科数学答案

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11.D因为2-(2a十1)x十a2十2=0最多有2个根，所以2sin[2x(x一a十)]=0至少有3个根由2si2x·(-a 2门=0，得2xr-a 2)=kxk∈Z解得x=专十a-号，k长Z由0≤受十a-2 子时4>0，令f(a)=a2-a(2a 1)十a2 2≥0，得 2时，f(x)有1个零点.综上，要使f(x)≤a<2,2≤a <号，2≤a<3在[0， ∞)内恰有5个零点，则或或解得子 2a<

22.(1)解：设h(x)=f(x)-g(x)=e-a.x-1,则h'(x)=e一a.…1分当a≤0时，h'(x)=e一a>0,h(x)单调递增，h(一1)=e1十a一1<0，不满足h(x)≥0恒成立：…2分当a>0时，h(x)在x∈（一∞，lna)上单调递减，h(x)在x∈(lna,十o∞）上单调递增，所以h(x)的最小值为h(lna)=a-alna-l≥0.3分即1-lna-合>0，即1na 2-1<0,设ga)=na 日-1，ga)-a2,所以(x)在(0,1)上单调递减，gp(x)在(1，十∞)上单调递增，即g(a)m=g(1)=0,故lna十】-1≤0的解只有a=1.5分综上，a=1.…6分(2)证明：先证当x∈(0,1)时，e>x十1恒成立.令t(x)=e一x一1，t(x)=e一1>0，所以t(x)在(0,1)上单调递增，又t(x)>t(0)=0,所以e>x十1.…8分所以要证 x一士1，即证丹 一<1，x 1即证1-hx x2 x- 1 0.…9分设F()=nx- 1 ，则F(x)=-2x-=(-1)-2x<0…10分所以F(x)在(0,1)上单调递减，所以F(x)>F(1)=1>0,即原不等式成立.…11分所以当01D时， x<112分