炎德英才大联考雅礼2022月考6数学答案

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15.3【解析】设直线AB的方程为x=my n(n≠0),代入抛物线方程y2=2px中,得y2-2pmy-2pn0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1 y2=2pm,y1y22pn,所以x1x2=(my1 n)(my2 n)=m2y1y2 m(y1 y2) n由OA·OBn2-2pn=n(n-2p)=0,得n=2p,所以直线AB过定点(2p,0),所以点O到直线AB的距离的最大值为2p,故2p=6,所以p=3

19.(1)证明:因为AB=BC,M是AC的中点,所以BM⊥AC(1分)因为PA⊥平面ABC,BMC平面ABC所以BM⊥PA(3分)又PA∩AC=A,所以BM⊥平面PAC(4分)因为PCC平面PAC,所以BM⊥PC(5分(2)解:因为AB=BC=√5,AC=2,所以BM=2.取PC的中点D,连接MD,则MD∥PA,所以MD⊥平面ABC,以M为坐标原点,分别以MB,MC,MD所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AN=t,则M(0,0,0),N(0,-1,t),A(0,-1,0),B(2,0,0),(6分)所以MB=(2,0,0),MN=(0,-1,t),AN=(0,0,t)B=(2,1,0)(7分)设平面BMN的一个法向量为n=(x,y,z),n·MB=0则由n·MN=0,y 1z=0,令z=1,得n=(0,t,1)(8分)设平面ABN的一个法向量为m=(x',y,z'),则由/"4N=0lm.AB=0令x=1,得m=(1,-2,0),(9分)n·n所以cos(m,nmn5×√t2 1由二面角ABNM的大小为30°,得解得t=√15(10分)5×√2 12所以PA=2AN=2√15,(11分)所以三棱锥PABC的体积V=÷S△ABC·PA4√15×2×2×2√15(12分)