百师联盟·2022届高三冲刺卷(三)3全国卷理科数学试题 答案

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20.【详解】(1)∵焦距为2√2,则c=√E,设A(x1,y),B(x2,y2)为弦AB的中点根据中点坐标公式可得; ≈3,y 2=2又∵将其4(x1,y),B(x2,y2)代入椭圆C:x )=1∫b2x yi=a1632 ay=ab2将两式作差可得b2(x x2)(x-x2) a2(n1 y2)(1-y2)=0,kV1-V2xx2)3b21Bx1-x23a2=3b2——①.∴a2-b2=c2-②由①②得:b2=1∴椭圆的标准方程为 y2=13kx m(2)将直线l和椭圆C联立方程消掉yx2 3y2=3可得:( 3k2)x2 6kmx 3m2-3=0△>0→3k2-m2 1>0—①,6km3m2-3根据韦达定理:x1 x2=1 3k1 3k6km3m2-3代入x=-2x2,可得:x21 3k2,-21 32,36k2m23m2-32 3k2)1 3k2即(9m2-1)3k2=1-m29m2-1≠0,m2≠a,B2=1-m2≥0-9代入①式得m2 1>0,即 (1-m2)>099m(m2-1)9m2-1)<0,a

21.证明:g(x)=f(x,则f(x)=g(x)= sinx xcosx,g(x)=- 2cosx- rsin x……2xe, r).--3<0, 2 cosx <0, sinx>0,g()=1 2c0sx- sinx<0…3故g()在区间(,x)上单调递遘减.4又∵az、2=- 1>0,g(x)=--丌<0……5所以g(x)在区间(,m)上存在唯一零点…6(2)要证f(x)<2xlnx x(l sinx),即证(2x-1)lnx x>0,令h(x)=(2x-1)lnx x,则h(x)=2lnx-- 3……,7令m(x)=h(x),所以m(x)在(0, ∞)单调递增.…8∵m(1)=2>0,m()=1-2ln2<0,所以存在唯的x∈(,1),使得m(x0)=2lnx-- 3=0……9当0 x时h(x)>0,h(x)在(xn, ∞)上单调递增……10°故h(x)m=h(x)=(2x0-1)In xo t xo=-(2x0 ~)……112因为x∈(1所以2x 1∈(2,,所以h(n)>0即2x-)mx x>0恒成立,综上所述对任意x∈(0, ∞),都有f(x)<2xlnx x(l sinx)…12