2022年普通高等学校招生全国统一考试 22·JJ·YTCT 金卷押题猜题(四)4文科数学答案

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19.【考查目标】必备知识:本题主要考查直三棱柱中的线线垂直、二面角的正弦值、空间向量等知识.关键能力:通过线线垂直的证明和二面角的求解考查了空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力学科素养:理性思维、数学探索【解题思路】(1)先证明BA⊥BC,再利用AB,BC,BB1两两垂直建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,利用向量证明;(2)分别求出面BB1C1C和面DEF的一个法向量,通过求出两法向量夹角的余弦值的最大值来解决解:(1)因为E,F分别是AC和C1的中点,且AB=BC=2所以CF=1,BF=√5.如图,连接AF,由BF⊥A1B1,AB∥AB,得BF⊥AB,于是AF=BF ABF=3,所以AC=√AF-CF=2.由AB2 BC2=AC2,得BA⊥BC,故以B为坐标原点,以AB,BC,B1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xy则B(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),BF=(0,2,1)设B1D=m(0≤m≤2),则D(m,0,2),于是DE=(1-m,1,-2)所以B.DE=0,所以BF⊥DE(2)易知面BB1C1C的一个法向量为n1=(1,0,0)设面DFE的法向量为n2=(x,y,2),n,又靂=(1-m,1,-2),E=(-1,1,1)所以(1-m)x y-2z=0-x y z=0,令x=3,得y=m 1,z=2-m,于是,面DFE的一个法向量为n2=(3,m 1,2-m),所以cos(n1,n2〉=)2设面BCC与面DFE所成的二面角为6,则in6=√1-m(n1,m2),故当m=时,面BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小为,即当B1D=时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小.【解題关键】本题求解关键是建立恰当的空间直角坐标系,确定相关点的坐标,再利用空间向量进行运算

17.(1)证明:∵底面ABCD是正方形,BC⊥AB又∵∴平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,且BCC平面ABCD,∴BC⊥平面PAB2分∵AE平面PAB,∴BC⊥AE.…·3分由已知PA=AB,点E是PB的中点,AE⊥PB,………………………分又∵∴PB∩BC=B,∴AE⊥平面PBC.……5分(2)解:易知AD,AB,AP两两垂直分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A不妨设AB=2,则A0,0,0,B(0,2、0),D(2,0,0),P(0,0,2),E(O0,1,1),F2,0),A-(0,1,1,A下-(2,2,0).…6分设平面AEF的一个法向量为n=(p,q,r{n·AE-0.(g r=0,AF一0得p 2q=0取则8分连接BD,AP⊥BD,AC⊥BD,AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,即平面PAC的一个法向量为B方=(2,-2,0)10分设平面PAC与平面AEF所成锐二面角为0,6 2考宣·COSnBDl1 1×2211平面PAC与平面AEF所成锐二面角的余弦值为2212分评分细则:【1】第(1)问解析第二行未写BCC平面ABCD,不扣分,未注明平面PAB∩平面ABCD=AB,扣1分;【2】第(1)问也可以采用空间向量的方法求解,按步骤得分【3】第(2)问解析中得到平面PAC的一个法向量只要与B方=(2,-2,0)共线即可得分