2021衡中同卷全国3卷信息卷

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20.(1)证明:由题意可设直线l的方程为y=kx my=krtm,P(x,y),联立消去y整理得(2k2 1) y2=1x2 4kmx 2m2-2=0,由△=0得2k2 1=m2,显然m≠0.(2分)(设出直线L的方程,与椭圆方程联立,因为直线l与椭圆相切,故△=0,从而得k,m的关系式)2km2k所以xo=2k2 1y=kx m==22 m21所以k·kP=k·(-)=,所以k·kP为定值(3分)(2)解:当直线l的斜率不存在时,易得OP|=√2MN|=2所以|MN|·|OP|=2√2当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,方程为y=kx m,M(x1,y),N(x2,yz)由(1)知2k2 1=m2,显然m≠0y=kx联立x2 2=1消去y整理得(2 1)x2 4kmx4=0(7分)4km --4k所以x1 x2=2k2 1m所以MN|=√1 k21x1-x2 k√(x1 x2)2-4x1x21 k2./16k2 16-82√2√1 k2Im(8分)/Ab2-由(1)知P(),|OP|=4k2 (根据弦长公式和距离公式列出|MN|和OP|的表达式,然后换元求得|MN|·|OP|的取值范围)所以|MN·|OP|=21 k2√1 4k/ k√① 4k22k2 1(10分)设2k2 1=t≥1,则MN·OP|=22√ 42k2 12y(2t-1)(t 1)=2N)2 - 2=)2 2,÷∈(0,1],当l2,即k2=1时,|MN·OP|取大值为3当=1,即k=0时,MN|·|OP1取最小值为2√2.综上,|MN|·OP|的取值范围为[2√2,3].(12分),更多内容，请微信搜索关注。