2021全国名校100所理科综合七

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12分21.【解析】(1)(x)=xe2 2ax=x(e2 2a当a≥0时,e2 2a>0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0, ∞)上单调递增;当a<0时①若-1 0时,x<1(-24)或x>0,当(x)<0时,1n(-20)=x<0故f(x)在(-∞,ln(-2a),(0, ∞)上单调递增,在(ln(-2a),0)上单调递减右a则1n(-2a)=0,则f(x)在R上单调递增4分③若a<-5,则1n(-2a)>0,当f(x)>0时,x>ln(-2a)或x<0,当f(x)<0时,0x 0,当x>0时,g(x)<0,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0, ∞)单调递减,所以0是g(x)在定义域上唯一的极大值点,也是最大值点,所以g(x)m,=g(0)=1,且在(一∞,0)上g(x)>0且当x趋向负无穷大时g(x)趋向0,g(1)=0,所以当函数f(x)有两个不同的零点x1,x2时,0<<1,即实9分数a的取值范围是(0,1)②令h(x)=f(x)-f(-x)=(x-1)e2 a(x2 1)-(-x-1)e--a(x2 1)=(x-1)e2 (x 1)e,x>h(r)=re0,h(x)在(0, ∞)单调递增,所以h(x)>h(0)即f(x)>f(不妨设x1 0,f(x1)=f(x2)>f(-x2),x1<0,-x2<0,由(1),当0