炎德英才长沙2019理综1

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20.【命题意图】本题考查椭圆的方程及其简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线过定点问题,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养(1)【解】由题意可知A(0,-3)关于椭圆C下顶点B(0,-b)的对称点为椭圆C的上顶点B(0,b),所以-2b=-3 b,所以b=1.(1分)因为PF=FQ,所以F为PQ的中点根据椭圆的对称性可知PQ⊥x轴(2分)2将x=c代x =1,可得yaa2b225所以PQ1==,则a=5.(3分)2故椭圆C的方程为 y2=1.(4分)(2)【证明】由(1)知F(2,0),B(0,-1),所以k3=(5分)当直线PQ的斜率不存在时,k,k2同号,显然不满足kk2 k3=0.(6分)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx m,P(x1,y1),Q(x2,y2)由5 y=1,得(5k2 1)x2 10kmx 5m2-5=0. y=kx m,由△=(10km)2-4(5k2 1)(5m2-5)=20(5k2-m2 1)>0,可知5k 1>m2(7分) 10km5m2-5所以x1 x2=5k2 1x1x2=5k2 11y .2 112lyy2 (y y2) 1 xx2=0.所以kk2 = =22x1 x22x1x2k(x1 x2) 2m代入上式并整理,得(2k2 1)x1x2 2k(m 1)(x2k2 1)20k2m(m 1)1)(x1 x2) 2(m 1)2=0,5k2 15k2 1 2(m 1)2=0.整理,得(m 1)(7m-3)=0,所以m=-1或m=3(9分)5k2 1当m=-1时,直线PQ恒过点B(0,-1),不符合题意;(10分)当m=时,直线PQ恒过点0,3(11分)故直线PQ恒过点()(12分)方法总结直线与圆锥曲线的位置关系问题常用“设而不求”的方法,即设出直线与圆锥曲线的交点坐标,将直线方程和圆锥曲线方程联立成方程组,并消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系来转化已知条件,建立方程或函数来解决问题易错警示设直线的方程时,大家习惯设斜截式,但要注意对直线斜率不存在情况的验证,否则解答不完善