2020-2021衡中同卷高考理科数学（一）

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12.ABD【解析】由m(x)=ex-2 e2-x>0知m(x)在R上递增,故A选项正确;m(x) m(4-x)=ex-2-e2-x e2-x-ex-=0,故m(x)图象关于点(2,0)中心对称,故B选项正确;由m(x)=e-2-e2-x,当x>2时,m(x)>0),m(x)图象下凸,此时m(x1) m(x2)2m(x1 x2故C选项错误;2对于D选项:解法1:f(x)=a(ex-2e2-x)-sinx,注意到f(-x)=-f(2 x),故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,而f(2)=0,则f(x)在R上有唯一零点等价于f(x)在(2, ∞)无零点,f(x)=a(e-2 e2-x)-xcos,当a≥时,因为e-2 e2-x≥2,则f(x)≥2a-cosx≥2a-x≥0,于是f(x)在(2, ∞)递增,于是当x∈(2, ∞)时,f(x)>f(2)=0,满足题意;当a 2,使得x∈(2,x)时f(x)<0,则f(x)在(2,x)单调递减,于是x∈(2x)时f(x) 2,<,2 ln>2aπ4a≥-1>元-1>0,π由零点存在定理,在区间(2,2 n)上f(x)一定还存在零点,与已知矛盾.故a≥.解法2:若f(x)存在唯一零点,则a(e-2-e-x)=sinx只有一个解,即g(x)=a(ex-2-e2-x)与h(x)=sinπx只有一个交点,g(x)=a(e-2 e2-x,h(x)=xcos,由g(2)=h(2)=0,g(x)、h(x)的图象均关于点(2,0)中心对称,在x=2的右侧附近,g(x)为下凸函数,h(x)为上凸函数,要x>2时图象无交点,当且仅当g(2)≥h(2)成立,于是2a≥,即a≥,故D选项正确