衡中同卷调研卷全国卷1B

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21.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,消去=kx 2,y,得x2-2pkx-4p=0,则x1 x2=2pk,x1x2=4p,(2分)所以OA·OB=x1x2 y1y2=x1x2 1x2-4p24p4=0,所以p=1.所以抛物线C的方程为x2=2y.(4分)(2)由(1)知抛物线C的方程可化为y=x2,求导可得y=x.设点P,Q的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4)设直线PQ的方程为y=mx (直线l的斜率显然存在)1 y=mx 2,由消去y,整理得x2-2mx-1=0, yox,可得x3 x4=2m,3x4=-1.所以y3 y4=m(x3 x4) 1=2m2 1,11 y3y4x3x4.1所以直线PR的方程为y2x3=x3(x-x3),即y=x3x-x3(7分)同理得直线QR的方程为y=x4x-x2.(8分)y=x3x-x3,x3x4x2由方程组1解得 T3T4 y, y21则点R的坐标为m,2(9分)由抛物线的几何性质知PF=y3 ,QF=y4 12,RF|=(m-0)2 11√m2 1221则PF·QF|=y32y4 =y3y4111(2m2 1) =m2 12(y3 y4) = (2m44所以PQfm2 1=1,即lQF IRFI的值m2 1 IRF|2为定值,该定值为1.(12分)