2021衡水金卷理综四

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16.4【命题意图】本題考查双曲线的定义、渐近线,圆的方程,直线与圆的位置关系,线段和的最值问题,考查转化与化归思想、数形结合思想,体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养【解析】连接MF2,根据双曲线的定义,可知!MF1|=AMF2| 2a.圆E的标准方程为x2 (y-4)2=1,圆心E(0,4)半径为1,圆心E到直线y=5,即5x-2y=0的距离d=0-2×4|8三"S41,故该圆与双曲线的渐近线相离于是MF1| N|=1MF2| 2a |MN|≥|MF2| 2a |ME|-1≥|EF2| a-1,所以当E,M,F2三点共线时,|MF1| |MN取到最小值最小值为BF1 2-1由双曲线的渐近线方程为y=5,不妨设a=2m(m>0),则b=√5m,c=3m,所以|EF2√9m 16,所以√9m2 16 4m-1=8,解得m=1,于是a=2所以实轴长2a=4s匕师评题高考对解析几何的考查十分注重对圆锥曲线的定义及性质的考查.本题考查了双曲线的定义、圆的性质以及平面几何中的最短距离问题,重点考查学生灵活运用定义和平面几何知识解决问题的能力.“解过无数问题,其实都是转化”本题就是要把焦半径|MF1转化到焦半径|MF2,把点M到圆上动点的距离转化为到圆心(定点)的距离,很好地考查了学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养