2021衡水金卷先享卷理综全国一卷3

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20.解:(1)函数f(x)的定义域为(1, ∞),(x)=1x 1当m≤0时,f(x)<0对任意的x∈(-1, ∞)恒成立,此时,函数f(x)在(-1, ∞)上单调递减;(2分)当m>0时,令f(x)=0,可得x=-1.m当-1 0,m1此时,函数y=f(x)的单调递减区间为(-1,m1),单调递增区间为(-1, ∞)综上所述,当m≤0时,函数y=f(x)在(-1, ∞)上单调递减;当m>0时,函数y=f(x)的单调递减区间为-1,1-1),单调递增区间为(-1, ∞)(5分)(2)设g(x)=e2x-f(x)=ln(x 1)-mx e2x-1,则g(0)=0,f(x)>e2x在[0, ∞)上有实数解等价于g(x)<0在[0, ∞)上有实数解g(x)=2e2 11 x-m,记h(x)=g(x),则h(x)=4e2x-1(x 1)2则函数y=h(x)在区间[0, ∞)上单调递增,当x≥0时,h(x)≥h(0)=3>0所以,函数y=g(x)在区间[0, ∞)上单调递增,则g(x)≥g(0)=3-m.(7分)①当3-m≥0时,即当m≤3时,g(x)≥0对任意的x≥0恒成立,所以,函数y=g(x)在区间[0, ∞)上单调递增,当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,这与g(x)<0在[0, ∞)上有实数解矛盾,不合题意.(9分)②当3-m<0时,即当m>3时,由于函数y=g(x)在区间[0, ∞)上单调递增且g(0)=3-m<0,g(2)=2m nm u=1 In m>0,2 In m由零点存在定理可知,存在x∈(0,2)使得g(x)=0,当0 x时,g(x)>0.此时,函数y=g(x)的单调递减区间为(0,x),单调递增区间为(x, ∞),所以,g(x0)