2021 衡水金卷 单元

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12.D【命题意图】本题考查三棱锥外接球的表面积,考查分类讨论思想,体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养【解析】情况一:如图(1),AB=BC=CD=ABD=2,AC=AD=22,则△ABC,△ABD是等腰直角三角形设△ABC和△BCD的外2接圆的半径分别为r1,2,该三棱锥的外接2222球的半径为R.由题意易得1=AC=BD√2.在△BCD中,由正弦定理,得2sin60图(1)2r2,则r2=由题意得R2=2 2- BC2=2 -1=,因此该三棱锥的外接球的表面积S4R2=283情况二:如图(2),AB=AC=AD=2,BC=CD=BD=2,则△ABC,△ABD,△ACD均是等腰直角三角形,因此可以利用补体法来解决.将三棱锥A-BCDBD放在棱长为2的正方体中,设三棱锥的外接球的半径为R,则有(2R)2=图(2)(2)2 (2) (2),解得R2=,因此该三棱锥的外接球的表面积S=4R2=6情况三:如图(3),AB=AD=2,AC=22,BC=CD=BD=2,则△ABC,△ACD是等2腰直角三角形,△ABD是等边三角形,B22易知AC的中点即为三棱锥外接球的球D心设三棱锥外接球的半径为R,则R=CC2√2,此该三棱锥的外接球的表面图(3)积S=42=8.故选D.