衡水金卷先享题调研卷2021数学

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21.(本小题满分12分) EM EN(1)证明:∵=,∴MN∥CD EC ED∵MN平面ACD,CDC平面ACD,∴MN∥平面ACD,∵平面AMN与平面ACD相交于1,MNc平面amn,∴MN(5分)(2)解:AB∥CD,由(1)可得MN∥CD,∴AB∥d,∴,B,M,N四点共面E平面AMN∩平面ACD=AB=1,∴P在AB上,如图,取AC的中点为O,∠B=则BO⊥AC,EO⊥AC,平面EAC⊥平面ACD,平面EAC∩平面ACD=AC,∴o⊥平面ACD.…(7分)法一:以O为坐标原点,分别以OB,OC,OE所在直线为xy,轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0),E(0,0,3)设AP=AAB,P(3,-1,0),则EC=(0,1,-3),CP=(3,2-2,0),平面EPD的法向量n=(a,b,c),则ECn=b-√3c=0,令c=,则a=2-,b=√3,n=3xa (x-2)b=0,n=(2-,3,),平面ACD的法向量为m=(0,0,1),…(9分)λ∴cos(m)=(2-)2 3x2 2√5x2-4 4∵平面PEC与平面ACD所成角为锐二面角,令λ>0λ111∴ cos)=≤…(11分)√5x2-4 4442-元 54元2 4当且仅当=2时取等,此时平面PEC与平面ACD所成锐二面角有最小值…(12分)法二:EO⊥平面ACD,且EO=√3,过点O作OF⊥PC于F,连接EF则EF⊥PC,∴∠EFO为所求锐二面角的平面角,记为,……(9分)∴tan==,当OF最大时,最小, OF OF∵OF⊥FC,∴F在以OC为直径的圆上,当F与C重合时,OF=1, OE∴tan=≥- OF 1∴的最小值为…(12分)