2023届山西省金太阳高三8月联考(901C·SHX)政治试题答案

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21.(12分)已知△ABC两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0)，(6,0)，边AC,BC所在直线的斜率之积等于-音顶点C的轨迹记为T.(1)求顶点C的轨迹T的方程：(2)若过点P(3,一1)作直线1与轨迹T相交于E,F两点，P恰为弦EF的中点，求直线L的方程：(3)已知M为轨迹T的下顶点，若动点N在轨迹T上，求|MN|的最大值.解：(1)设Cx),则由kc·质c=-合可得y.y4x 6x-6-9化简得66=1.故顶点C的轨迹T的方程y236 16=1(x≠土6).(2)当直线！的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y十1=k(x一3)，SP1y 1=k(x-3),1,消去y可得(4 9k2)x2-18k(3k 1)x 9(3k 1)2-144=0.设直线L与轨迹T的交点E,F的坐标分别为E(x1,y1),F(x2y2),则x1十x218k(3k 1)4 9k2由点P为E,F两点的中点，可得1十工=3，即x1十，=6，2则8k(3k 1)4 9k2=6,4解得k=3'故直线1的方程为4x一3y一15=0.(3)由(1)可知M(0,一4)，设N(x,y),则|MN|=√2 (y 4)7,又点N(xy)满足6 6=1，唧r=36-9y2,所以1MN1=√36-是2 y 4=2 8y 52,由椭圆的性质得y∈[一4,4]，16所以当y时，lMw1n=185

22.(12分)已知圆C:(x一√3)2 y2=16,点G(-√5,0)，P是圆C上一动点，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点M.(1)求点M的轨迹方程E;(2)已知直线l:y=kx十m(m≠0)交曲线E于A,B两点.①若射线B0交椭圆后 号-1于点Q,求△ABQ面积的最大值，②若OA⊥OB,OD垂直AB于点D,求点D的轨迹方程解：(1)由圆C:(x-√3)2十y2=16,可得圆心C(3,0),半径r=4,因为GC引=2√3<4，所以点G在圆C内.又因为点M在线段PG的垂直平分线上，所以|GM=|PM,所以|GM| IMC|=|PM| IMCI=4>|GC,由椭围的定义知，点M的轨迹是以G,C为焦点的椭图，高学0一《的其中a=2,c=√3，b2=4-3=1,层年麻，暖同点宝已前宝。送文所以点M的轨迹方程E为4十y=1.(2)①当BO所在直线的斜率存在时，设BO所在直线的方程为y=nx,y=nx,合一中数个因0小码，碳小共思本：器鞋数，1610Q由4 y2=1,可得1 ，同理81 ,则=2,所以=2,即Q到直线！的距离是点O到直线（距离的3倍.设A(x1y1),B(x2y2),y=kx十m,联立x y2=1可得(4k2 1)x2 8kmx 4(m2-1)=0.由△>0得4k2 1-m2>0,且x1十x2=8kmL4(m2-1)则1AB1=1 , x)-4x1xg-41牛E4级 1-m4k2 1又由0到直线1的距离d=|m√1 km'm可得SA0B=2m-(4经 1-mm4k2 14k2 12当凰仅音中1m24k2 ,即2m2=4k2 1时，等号成立，故△ABQ面积的最大值为3S△OAB=3.当BO所在直线的斜率不存在时，DEV-TKM设B(0,1),则Q(0,一2)，l的方程为y=kx十1（其中k>0).[y=kx 1,联立x2-8k y2-1,得(4k2 1)x2十8kx=0,则xA=4k2 1'所以S△ABQ=BQ1=212124k2 13, 12X2综上可得，△ABQ面积的最大值为3.②由①知x1十x2=8km(m2-1)4k2 1x1x2=84k2 1,又因为0A⊥OB,所以OA·OB=0,即x1x2十y1y2=0,即x1x2十(kx1十m)(kx2十m)=(k2十1)x1x2十km(x1十x2)十m2=0,0热，=(2)联将x1十x2=62 1x1x2一8km4(m2-1)4软 1代入整理得4(k2 1D=5m2.,得在降阳M点来(1又1OD1=m1251 k5:南大量的两面O人△，◇所以点D的轨连是以0为圆心，半径为2的国（去拌工轴上的两个点），故点D的锐莲方程为十y°=引：≠士)】