陕西省西安中学高2022届高三第一次仿真考试文科数学试题答案

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20.解:(I)函数f(x)=e alnx(a∈R)的定义域为(0, ∞),f′(x)=e2 当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0, ∞)上单调递增;(2分)当a<0时,令y1=e,y2显然这两个图象有一个交点不妨令f′(xo)=0,则当x∈(0,x0)时,y2>y1,函数f(x)在(0,x)上单调递减当x∈(x0, ∞)时,y2 0∴函数f(x)在(x, ∞)上单调递增.(5分)(Ⅱ)证明:h(x)=a1n1axt a则h′(x)=- x-a,(6分)此时x1,x是方程x-ax a=0的两根且△=a2-4a>0,解得a>4.由韦达定理得x1 x2=a,x1x2=a,(7分∴h(x) h(x2)=aln(x1x2) (x2 x2)-a(x1 x2) 2=alna a(a2-2a)-a2 2=alnaa-a2 2.(8分)令F(a)=alna-a-aa2 2(a>4),(9分)则F′(a)=1na 1-1-a=lna-a令S(a)=lna-a,则S′(a)=--1a>4,∴S′(a)<0,∴函数S(a)在(4, ∞)上单调递减S(a)

21.解:(I)过点E作抛物线C准线的垂线,垂足为点D根据抛物线定义得EF=ED|,于是AE EF=AE ED,(2分)显然当A,E,D三点共线时,AE ED有最小值2 所以2 2=3,解得p=2,(4分)所以抛物线C的方程为y2=4X.(5分)(Ⅱ)证明:直线1:2x-y 4=0,令x=0,得y=4所以点B(0,4)因为直线1平行于直线1:2x-y 4=0且过点A(2,1),所以直线1:2x-y-3设直线12:x-2=t(y-1)并代入抛物线C的方程消去x得y2-4ty 4t-8=0,△=16(tt 2)>0设点P(x1,y),Q(x2,y2)由韦达定理得y1 y2=4t,y1·y2=4t-8,(7分)4易得直线PB:y直线QB:y=x 4.(8分)联立7(ty1 2-t)解得x2x-y 4(2t-1)y1 8-2t同理可得x(2t-1)y 89 ,(9分)7(ty1 2-t)7(ty2 2-t)所以x x(2t-1)y 8-2t(2t-1)y2 8-2t2t(2t-1)y·y2 [(8-2t)t (2t-1)(2-t)](y1 y2) 2(2-t)(8-2(2t-1)y1·y2 (2t-1)(8-2t)(y1 y2) (8-2t)4t-4t 8X7t2- y=4.(11分)因为xA=2,所以x x=2x,即A是MN的中点,所以AM=AN.(12分)