百师联盟·2022届高三冲刺卷(四)4新高考卷数学答案

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19.(I)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.……1分如图，取AD的中点G,连接GC.因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，且AB=BC=1,所以四边形ABCG为正方形，所以CGLAD,且CG=号AD,所以∠ACD=90°，即AC⊥CD.又因为PA∩AC于点A,PA,ACC平面PAC,所以CD⊥平面PAC.…3分(Ⅱ)解：如图，以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,x轴建立空间直角坐标系A一xyz,则A(0,0,0),C(1,1,0),E(0,1,1),P(0,0,2),所以A5=(0,0,2),AC=(1,1,0),AE=(0,1,1).…5分因为PA⊥平面ABCD,所以AP=(0,0,2)为平面ACD的一个法向量.…6分设平而EAC的法向量为n1=(x,y,).由m1·AC=0,n,·AE=0,得x十y=0,y z=0.令x=1,则y=-1,x=1,所以几1=(1，一1,1)是平面EAC的一个法向量，…7分所以c0s(m,A)=1X0 (-1)×0 1×2-3√12 (-1)2 1·23因为二面角E一AC一D为锐角，所以二面角E-AC-D的余弦值为停。8分(Ⅲ)解：假设在线段AB上存在点F(不与A,B两点重合)，使得AE∥平面PCF.9分设F(a,0,0),则C=(a-1,-1,0),且C泸=(-1，-1,2).设平面PCF的法向量为n2=(x,y,z).由G-00-08令x-1,则y=a-1x=号，所以=(1，a-1,号)是平面PCF的一个法向量.11分因为AE∥平面PCF,所以A花·=0，即(a-1) 号=0，解得a=3所以在线段AB上存在一点F(不与A,B两点重合)，使得AE∥平面PCF,且AF=3·…12分

18.解：(I)因为a1,a2,…,a1o是首项为1，公差为1的等差数列，所以a1o=10.又因为a1o,a11,…,a20是公差为d的等差数列，所以a20=a10 10d=40,解得d=3.…2分(1)由题意，得aw=am 10f=101 d f)=10[(d 号） 圣](d≠0).4分所以a30∈[7.5，十o∞).…6分(Ⅲ)当n≥1时，a1om,a1om 1,a1om 2,…,a1om 1o是公差为d的等差数列，研究的问题：试写出a1om 1o关于d的关系式，并求出a1om 1o的取值范围.研究过程如下：a20=10(1 d),a3o=10(1 d d),a4o=a3o 10d3=10(1 d d d),依此类推：10(1-d 1a1om 10=10(1 d d … dm)=1-d2,d≠1，0…………10分10(n 1),d=1.因为当>0时，>1，所以a10m 10∈(10， o∞).…12分