2021年普通高等学校招生全国统一考试金卷衡水金卷

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下面同解法一21.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点,考查应用意识及运算求解能力,考查数学运算核心素养(1)当n=1时,求出h(x),求导,根据导数的正负得到单调性,从而求出h(x)的最小值;(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性和零点即可求解解:(I)当n=1时,h(x)=f(x)-g(x) =e-x-1,情十2分)∴h(x)=ex-1当x∈(-∞,0)时,(x)<0,h(x)在(∞,0)上单调递减;当x∈(0, ∞)时,h(x)>0,h(x)在(0, ∞)上单调递增,(4分)∴h(x)m=h(0)=0.(5分圆()1.图(1图:三(Ⅱ)当n=0时,g(x)=mex-x-1,小∴g(x)=mex-1当m≤0时,G(x)<0,则G(x)=me-x-1恒为减函数,不符合题意;当m>0时,令G(x)=0,则x=ln,,)点民示节∴函数G(x)=mex-x-1在(-∞,ln)上为减函平m数,在(n, ∞)上为增函数∵函数G(x)有两个零点即lnm<0,解得0 0时,ex>x 1,∴F(x)>0,F(x)在(0, ∞)上单调递增,故F(x)>F(0)=0,即e>x2 x 1熟,点,且G(x)=mex-1>m(x2 x 1)-x-1=mx2 (m-1)x (m-1),2出)∴()>() (m-1) m-1=m1>0.15又当x>0时,e>x 1,令x 1=t∴tt-(>1),1∴n<-1<,m∴函数G(x)在(nm,)上也有一个零点,故m的取值范围是(0,1)(12分)