2021衡中同卷调研卷全国I卷理科综合

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22(1)解抛物线C的焦点坐标为F(0),若直线PQ过点F,则直线PQ的斜率一定不为0不妨设直线PQ的方程为x=my ,1分代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,设P(x1,y),Qx2,y),则y y=2pm,n x2=m(y y) p=2pm2 p.………………2分所以PQ|=|PF| 1QF|=n n 是=2(m 1).………………3分所以,当m=0时,|PQ|-=2p=8,所以p=4.1分所以抛物线C的方程为y2=8x5分(2)证明:由题意设直线PQ的方程为x=ky (1≠0),P(x1,y1),Q(x2,y),y2=8x,联立得y2-8ky-8=0.……………6分r=kytt由题意得△=64k2 32>0.7分所以y y=8,yy=-81.……………………………8分因为OP⊥OQ,所以OP·QQ=xx2 yy=(ky 1)(ky2 ) yy=(k2 1)yy k(y y) r28t(k2 1) 8k2t t2=2-8=0………………………………………10分=P2-8=0……………………………………………10分所以t=8,(=0不符合题意,故舍去)…………………所以直线PQ的方程为x=ky 8,所以直线PQ恒过定点(8,0).……………………12分,更多内容，请微信搜索关注。