2021衡水金卷先享题 模拟调研试题 全国1卷文综（二）

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21.(1)证明:取棱SC上靠近点S的一个三等分点N,连接MN,DN因为别一一所以MN∥BC且MN=3B1分因为AD∥BC,所以MN∥AD.又因为BC=3,AD=1,所以AD=BC=MN所以四边形MNDA是平行四边形3分所以AM∥ND.又因为AM平面SCD,ND平面SCD,所以AM∥平面SCD5分(2)解:作SO⊥AB,垂足为点O,如下图所示)因为△SAB是等边三角形,所以点O是线段AB的中点因为侧面SAB⊥底面ABCD,侧面SAB∩底面ABCD=AB,SO⊥AB,SOC侧面SAB,所以SO⊥底面ABCD所以以点O为原点,OA为x轴,过点O且平行于BC的射线为y轴,OS为z轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O-xyz.…………16分因为AB=2√3,BC=3,AD=1,△SAB是等边三角形,所以AO=BO=1AB=3,SO=As,sm60°=23×=所以点O(0,0,0),A(3,0,0),D(3,1,0),C(-3,3,0),S(0,0,3),所以SD=(3,1,-3),SC=(-3,3,-3)…………7分设平面SCD的一个法向量为m=(x,y,z),则m·SD=0,3x y-3=0,解得得33x 3y-3z=0,2令z=2,得平面SCD的一个法向量为m=(3,3,2)9分易知平面BCD一个法向量为n=(0,0,1).………10分设二面角S-CD=B的大小是0,易知是锐角,则= ;-,3,2)·(0,0,1)(3) 3 2×1-z·11分又0°≤≤180°,所以0=60°所以二面角S-CD=B的大小是60°12分