2021衡中同卷专题卷数学

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设平面BDC1的一个法向量为m=(x,y,z),21.(1)证明:∵△ACD是边长为1的等边三角形,∠ADC=60°,∠DA1C1=120°1分∵D是AA1的中点,△ACD的边长为1,∴AD=A1D=A1C1=1,即△A1CD是等腰三角形,∠A1DC1=30°,从而∠CDC1=90°,即CD⊥C1D.2分∵B1C1⊥平面AA1CC,且CDC平面AA1CC,∴B1C1⊥CD.………4分B1C1∩CD=C1,B1C1C平面B1C1D,C1DC平面B1CD,CD⊥平面B1CD5分B1Dc平面B1CD,∴CD⊥B1D.6分B(2)解:连接CA,CD=AA1…∴AC⊥CA以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则B(O,03),C(-1,3,0),D2,0),C0,0,0),BC=(-1,3,-3),CD/C√3=(2,-20,CD=(2,07分1b·m=0,√3则2y=0,可取m=(3,3,2)9分BC1·m=0,-x 3y-3z=0,由(1)知平面B1CD的一个法向量为n=2Cb=(1,3,0)11分cos m, n=n3 33_34×22即所求二面角的余弦值为12分