2021衡中同卷二轮复习专题卷数学专题(四)新高考

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20.解:如图,以A为原点,以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xy=,因为∠PB=5,∠PAB=2,所以AB=3AP.设AP=a(a>0),AC=b(b>0),则P(0,0,a),B(3a,0,0),C(0,b,0)2分(1)因为点D满足PB=4PD,所以点D在线段PB上,设D(x,0,x),则由PB=√3aB4PD,得(3a,0,-a)=4(x,0,x-a),解得即DC43分所以入小B9,0,43a4分又P=(3a,0,-a),所以PB·AD=(3a,0,-a)3a0,)=0,………………5分PB·A=(3a,0,-a)·(0,b,0)=0,…6分PB⊥AD所以从而PB⊥平面ACD7分PB⊥AC,(2)因为AP=AC,则b=a,所以ba4,-a,x),又A=(3a,0,0),9分所以A,C=3s,AB=a,Cb1=所以ABb=Mb√21√a1411分√32即CD与AB所成角的余弦值为√2I1412分