衡中同卷2021调研卷全国卷B理综一

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20.解:(1)由离心率为2,可得2由短轴长为2,可得b=11分又a2-c2=b2=1,解得a=2,c=√,则椭圆的方程为41y2=14分(2)存在符合条件的圆,此圆的方程为x y=5证明如下:假设存在符合条件的圆设此圆的方程为x y=r(>0当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k my=l 「得“ 8mx m2-4=05分因为直线l与椭圆C有且只有一个交点,所以△1=(8Bm)-40 4)X4m2-刂=0,即m2=1 42,………分rtr由方程组x y2=2可得Q k2)2 2m m2-72=0则△2=(2bm)3401 4)mr2-)>0203B〔,,B(,點),则1 xx设1;毳1 k2分设直线OF,OB的斜率为,,所( m街m) km ) m2分1 2*bzo 2bk1111111 29分砖≈(4-r2)k2 1_(4r2)2 1将m2=1 42代入上式,可得42 (-r2)0分要使为定值,则即r=5,验证符合题意所以当圆的方程为 y2=5时,圆与的交点B,B满足为定值4,11分当直线4的斜率不存在时,由题意可得l的方程为x=2,此时圆x y=5与的交点为,乃也满足Mk24综上可得当圆的方程为x y=5时,直线l与圆的交点B,B满足斜率之积为定值2分