2021衡中同卷调研卷全国一卷（二）

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BB所以MN=1,CD=2,AC=4,AA=2√2,AC=2√2如图2,分别以A,A,A41所在直线为x,y.z轴建立空间直角坐标系A-xz∴A(0,0,0),D(0,2,0),C(2,2,2√2),A(0,0,2√2),C(2,2.0),B(2,0,0),在正方形ABCD中,BD⊥AC,BD是平面4AC的法向量,BD=(-2,2,0)设平面CD的法向量为=(xyz),由DC=(2,0,0),DA=(0-2√22x=0,0,所以有取z=1,2y 2√2z=0,得平面ACD的一个法向量为方=(0,21)设二面角A-AC-D的大小为a,则 Icos a=2√2√3319.(1)证明:在长方体ABCD-A1B1D1中,因为M,M分别为4C,A2D的中点,所以MM为△ACD的中位线,所以MN∥CD又因为⊥平面A1ADD1,所以M⊥平面41ADD1(2)解:在长方体ABCD-4B11D1中,因为CD⊥平面A1ADD所以∠CAD为AC与平面4ADn所成的角,即∠CAD=30°,又因为AA⊥平面ABCD所以∠ACA为AC与平面ABCD所成的角,即∠ACA=45°