名校调研系列•吉林省2025-2026学年九年级期中测试①[省命题]数学答案-答案易对

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17:377112/12当x∈(0,)时,令u(x)=f"(x),则u(x)=+asin x,(1+x)2易知u'(x)在(0,)上单调递增,且u'(0）=-1<0,u"()=ta>01+所以存在xg∈（0,),使得u'(x）=0.(6分)所以当00,f(x)单调递增.2所以f'（x）0,所以存在x∈(x,),使得f"(x）=0.1+2当00,f(x)单调递增，所以f(x)在(0，π）上存在唯一极（小)值点x.(8分）所以f（x）0，所以存在x∈（x,π）,使得f（x2）=0，所以f(x)在(0,π）上存在唯一零点x，得证.(9分)（3）由f（x2）=0,得ln(1+x2）=asinx2，由f'（x）：1-acosx=0，得11+x1+x=acosx，所以1+x因为a≥1，所以待证不等式等价于sinx2>sin2x√24-<0,f()>0=4+π21+4所以x∈(，),即2x∈(,π),同理可得x∈(，π)由于 sinx在区间(，π上单调递减,要证sin x2>sin 2x,只需证x2<2x(11分)又因为f（x)在（x，π）上单调递增，所以只需证f(2x）>f（x2）=0.(12分）2sinx2x2.xxZ+I=(x）,a2_2（1+x）-2x2x²令v（x）=ln（1+2x）1+x(1+x)²所以v(x)在（-，+∞上单调递增,所以v(x）>v(0）=0,即f(2x）>0成立，故原不等式成立(17分)

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