浙江省绍兴区上虞区2022-2023学年高二下学期（6月）学考适应性考试数学试题

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又有f(1)=4,f(3)=0,要使f(x)在区间[0，m]上的最a(e-ina+a)+In a=1+a2+In a,小值为0，则实数m的取值范围为[3，十∞).(12分)3319.分析：(1)当a=0时，利用导数分析函数f(x)的单调性，要证f(x)>2lna+2,即证1+a2+lna>2lna+2,即即可得出函数f(x)的极小值；(2)利用导数求出函数正a2-lna-号>0恒成立f(x)在x=1处的切线方程，将切线方程与y=x2联立，由△=0可求得实数a的值.1令g(a)=a2-lna-2(a>0),解：(1)当a=0时，f(x)=x2lnx,其中x>0,所以f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令f'(x)=0,解则g'(a)=2a-1_2a2-1aa得x=Ee令ga0.则0a<盟：令ga0.则。2列表如下：(.)6所以ga在(o.号)上单词道减在（停+四）上单涧e(+)递增，f'(x)0×f(x)极小值一2e10,则g(a)>0恒成立，所以函数f(x)的极小值为一2e,(6分)所以当a>0时.：)>2na+恒成立，i证华，(12分)(2)因为f(x)=x2lnx十a.x,所以f'(x)=2xlnx+(证法2)令h(x)=e一x一1，则h'(x)=er一1，x十a,所以f'(1)=a十1.由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e一1在R上因为f(1)=a,所以f(x)在x=1处的切线方程为y=单调递增(a+1)x-1.又h'(0)=e°-1=0，因为y=(a十1)x一1与g(x)=x2的图象相切，所以当x<0时，h'(x)<0;当x>0时，h'(x)>0,所以x2一(a+1)x+1=0有两个相等的实根，所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调所以△=(a+1)2-4=0,解得a=1或a=-3,所以实数递增，a的值为1或一3.(12分)故h(x)≥h(0)=0,则e≥x十1，当且仅当x=0时，等号20.分析：(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结成立合导数与函数单调性的关系即可得解；(2)（证法1）结合因为f(x)=a(e+a)-x=ae十a2-x=e+na+a2-1(1)中结论，将问题转化为a2-2-lna>0的恒成立问x≥x+lna+1+a2-x,愿，构造函数ga)-a-号-1naa>0),利用导数证得当且仅当x十lna=0,即x=-lna时，等号成立，g(a)>0即可.（证法2）构造函数h(x)=e-x-1,证所以要证fx)>2加a十号，母证x+na+1+a-之e≥x+1,从而得到f(x)≥x十lna十1+a2一x,进而将31f(x)>2Ina+2,即证a2-lna-2>0,问题转化为a-7-1na>0的恒成立问题，由此得证令ga)=a2-na-2a>0.则g'(a)=2a-日(1)解：因为f(x)=a(e十a)-x,定义域为R,所以2a2-1f'(x)=ae-1.a当a≤0时，由于e>0,则ae≤0，故f'(x)=ae-1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；令g'a)c0期0a号，令ga>0则e>号21当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解得x=-lna,当x<-lna时，f'(x)<0,则f(x)在(-∞，-lna)上单所以5a)在(0.号)）上单调递减，在（侣+∞）上单调调递减；当x>一lna时，f'(x)>0,则f(x)在（一lna,递增，十∞)上单调递增.综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，所以g(a)mn=f(x)在(-∞，-lna)上单调递减，f(x)在(-lna,十∞)则g(a)>0恒成立，上单调递增.(6分)(2)证明：（证法1）由(1)得，f(x)mim=f(-lna)=所以当a>0时，f(x)>2na+2恒成立，证毕.(12分)高三数学试卷（四）参考答案第4页（共6页）